<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 6 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione  

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627269-9

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 
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          Caixa Postal 007
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<P>
                                I
 Sumrio

Quarta Parte

Captulo 4 -- Fraes e 
  decimais 
 1- As fraes mais comuns: 
  meios, teras e quartas 
  partes :::::::::::::::::::: 297
 2- Fraes: a generalidade 
  e as porcentagens ::::::::: 310
 3- Fraes equivalentes e 
  simplificao ::::::::::::: 329
 4- Nmeros racionais :::::: 341
 5- Nmeros decimais ::::::: 350
 6- Comparao de nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 362
 7- Usos dos nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 371
 8- Escrevendo fraes como 
  nmeros decimais :::::::::: 380

<125>
<P>
<tmat. medida c. 6>
<T+297>
Captulo 4 -- Fraes e 
  decimais

<126>
1- As fraes mais comuns: 
  meios, teras e quartas partes

  Se voc precisar medir um comprimento em metros, pode ser que o resultado no seja um nmero natural. Por exemplo, pode ser um valor entre 1 e 2. Como se indica essa parte do metro que est entre 1 e 2?
  Para situaes como essas, foram criados os nmeros fracionrios. Vamos estud-los, comeando pelas fraes.
  As fraes mais comuns voc j conhece.
  Quando dividimos uma figura em duas partes iguais, cada parte  um meio ou a metade da figura. Com smbolos matemticos, escrevemos que cada uma (1) das duas (2) partes  #,b da figura.
<P>
<F->
!::
l_ _
h:j:j
<F+>

Assinalamos #,b do retngulo.

  Quando a diviso  feita em trs partes iguais, cada parte  um tero ou a tera parte da figura. Cada uma (1) das trs (3) partes  #,c da figura.

<F->
!:::
l_ _ _
h:j:j:j
<F+>

Assinalamos #,c do retngulo.

<F->
!:::
l__ _
h:j:j:j
<F+>

Aqui assinalamos #;c do retngu-
  lo. (#;c l-se dois teros).

  Da mesma forma, quando a diviso  feita em quatro partes iguais, cada parte  um quarto ou a quarta parte da figura. Cada uma (1) das quatro (4) partes  #,d da figura.

<F->
!::::
l_ _ _ _
h:j:j:j:j
<F+>

Assinalamos #,d do retngulo.

<F->
!::::
l___ _
h:j:j:j:j
<F+>

Aqui assinalamos #:d do retngu-
  lo. (#:d l-se trs quartos).

  Um smbolo como #:d  uma frao. As fraes foram criadas h mais de 3000 anos.

<127>
Frao de uma quantidade

  Imagine uma pizzaria que tem uma frota de 12 motos para fazer entregas em domiclio e que dois teros dessa frota so pilotados por garotas. Nessa frota, quantas so as motos das garotas?
  Para responder a essa pergunta, voc pode proceder assim:
  Primeiro, imagine as 12 motos separadas em 3 grupos iguais. Cada grupo  #,c da frota.
  Queremos #;c da frota. Ento, basta considerar dois grupos, ou seja, 8 motos.
  Para saber quantos so #;c das 12 motos, poderamos ter usado apenas operaes numricas, efetuando 123=4 (para encontrar a tera parte) e, depois, 2"4=8 (para encontrar o valor correspondente a dois teros).

Atividades

<R+>
1. Qual  a frao que corresponde  parte destacada na figura?

<F->
a) !::
    l_ _ 
    h:j:j 


b) !::::
    l___ _
    h:j:j:j:j 

c) !::::
    l_ _ _ _
    h:j:j:j:j

d) !:::
    l__ _
    h:j:j:j
<F+>

2. Desenhe dois losangos como o da figura.

<F->
    *a?           
  *a   ^?                                        
*a       ^?                          
^?       *a                           
  ^?   *a                   
    ^*a                     
<F+>

a) No primeiro deles, assinale #,d do losango.
<P>
 b) No segundo, assinale #:d do losango.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

3. D a frao que est desta-
  cada.

<F->
a) !:::
    l_ _ _ 
    h:j:j:j 

b) !:::
    l__ _
    h:j:j:j 

c) !::
    l_ _
    h:j:j

d) !::::
    l_ _ _ _
    h:j:j:j:j
<F+>

<128>
<P>
4. A figura _`[no adaptada_`] tem 18 partes iguais, das quais pintamos 6.
  Que frao da figura foi colorida?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

5. Fui artilheiro do campeonato de futebol de salo da escola. Marquei #,c dos 18 gols que meu time fez. Quantos gols marquei?
 6. O tanque de um carro tem capacidade para 52 litros de combustvel. Quando o ponteiro indica que o combustvel ocupa #:d do tanque, quantos litros de combustvel h nele?
 7. Quantos minutos tm #:d de hora?
 8. Estou viajando. Ontem percorri um quarto da estrada. Hoje percorri um tero do trecho que faltava. Que frao da estrada falta ser percorrida?
  Sugesto:
  Faa um desenho representando a estrada. Nele, indique os trechos percorridos ontem e hoje.
  Esta  a estrada.

<F->
r:::::::::::::::::::::::w
<F+>

Ontem percorri #,d da estrada.


<F->
r:::::w:::::w:::::w:::::w
 ontem
<F+>

Hoje percorri #,c do que faltava.

<F->
r:::::w:::::w:::::w:::::w
        hoje
<F+>

Estes so os trechos que percorri ontem e hoje.

<F->
r:::::w:::::w:::::w:::::w
 ontem  hoje
<F+>
<P>
  Observe, na figura, quanto 
  ainda falta para terminar a 
  estrada.

9. Estou viajando. Ontem percorri um quarto da estrada. Hoje percorri dois teros do trecho que faltava.
 a) Faa um desenho representando a estrada. Nele, indique os trechos que percorri ontem e hoje.
 b) Que frao da estrada falta ser percorrida?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

10. Havia um s chocolate para dois irmos. O menor comeu #:d do chocolate. Que frao sobrou para o maior?

<129>
<P>
Pensando em casa

11. Copie a figura. _`[{no adap-
  tada_`] Depois, voc deve dividi-la em 3 partes iguais. No final, assinale #;c da figura.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

12. Tenho um tio que reclama de tudo. Hoje ele reclamou que minha tia no trabalha e ainda gasta #;c do seu salrio inutilmente. Eu perguntei quanto ele ganhava e ele respondeu:
  -- A grande misria de R$1.011,00. 
  Agora, calcule quanto minha tia gasta.
 13. Vinte carros iniciaram uma corrida, mas s #,d deles a terminou. Quantos carros desistiram?
<P>
 14. Quero colorir #;c desta figura. Quantos quadradinhos devo pintar?

<F->
------.
v-v-v-l
v-v-v-l
v-v-v-l
<F+>

15. Diga quantos quadradinhos devem ser assinalados para representar:

<F->
------------.
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l
<F+>

a) #,b da figura; 
 b) #,c da figura;
 c) #;c da figura;
 d) #,f da figura.

16. Eu sei que 1 quilograma tem 1.000 gramas. No aougue, uma senhora pediu #:d de quilo de carne moda. Quantos gramas tm #:d de quilograma?

17. O ano tem 12 meses. Diga quantos meses h em:
 a) #;c do ano; 
 b) #:d do ano.

<130>
18. Um jogo de futebol tem dois tempos de 45 minutos cada. Diga quantos minutos de jogo j se passaram, quando o locutor de rdio diz:
 a) -- Atingimos a tera parte do primeiro tempo!
 b) -- Atingimos a tera parte do segundo tempo!
 c) -- Atingimos a tera parte do jogo!
 d) -- Falta apenas a tera parte do segundo tempo!

19. O despertador tocou e eu nem me mexi. Meu av gritou:
  -- Levante, Marcelo! Falta um quarto para as seis. Isso sig-
  nifica: falta um quarto de hora para as seis horas.
  Ento eram 5 horas e quantos minutos?
<P>
 20. Osvaldo fez #,c do trabalho, se cansou e deixou o restante para outra pessoa fazer. Faa um desenho representando a parte do trabalho que Osvaldo fez. Depois, responda: que frao do trabalho ainda precisa ser feita?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

21. A metade da metade de uma figura  que frao dessa figura?

Desafios e surpresas

1. Num certo pas, o Congresso Nacional tem 450 membros. 
  Eles elaboram:
  1 leis complementares (que no mudam a atual Constituio);
  2 emendas  Constituio (que a modificam).
  Uma lei complementar  aprovada quando recebe mais da metade dos votos dos membros do Congresso. Aprovar uma emenda  mais difcil: ela precisa obter dois teros dos votos dos membros do Congresso. Calcule o nmero mnimo de votos necessrios para se aprovar:
 a) uma lei complementar;
 b) uma emenda  Constituio.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<131>
2- Fraes: a generalidade e as 
  porcentagens

  J vimos as fraes mais simples. Agora, vamos dar a definio geral de frao.
  Dois nmeros naturais escritos na forma numerador  denominador formam uma frao:
<R+>
  o denominador, que no pode ser zero, indica em quantas partes o todo est dividido;
<P>
  o numerador indica quantas dessas partes devem ser consideradas.
<R->
  O numerador e o denominador so os termos da frao.
  Vejamos um exemplo:
 #:g do retngulo

<F->
!:::::::
l___ _ _ _ _
h:j:j:j:j:j:j:j
<F+>

3 -- numerador
 7 -- denominador

Leitura de fraes

  As fraes com denominadores menores que 10 e as com denominadores 10, 100, 1.000, ... tm nomes especiais.

<P>
<R+>
_`[{tabela adaptada, composta de duas colunas: denominador e nome de cada parte_`]

 2 -- meio (ou metade)
 3 -- tero (ou tera parte)
 4 -- quarto (ou quarta parte)
 5 -- quinto (ou quinta parte)
 6 -- sexto (ou sexta parte)
 7 -- stimo (ou stima parte)
 8 -- oitavo (ou oitava parte)
 9 -- nono (ou nona parte)
 10 -- dcimo
 100 -- centsimo
 1.000 -- milsimo
 10.000 -- dcimo de milsimo

<132>
Em uma frao, primeiro leia o numerador e, depois, o nome de cada parte.
  #:g (trs stimos)
  #,aj (um dcimo)
  #;,ajj (vinte e um centsimos)
  #*ajjj (quarenta e nove milsimos)
 Nas fraes com denominadores maiores que 10, mas diferentes de 100, 1.000, 10.000 etc., leia o numerador, depois o denominador e, finalmente, a palavra avo.
  #,aa (um onze avo)
  #*af (nove dezesseis avos)
<R->

A generalidade das fraes

  Aqui, vamos pensar em tabletes de chocolate. Vamos dividir um tablete em 6 partes iguais.

<F->
!:::
l _ _ _
r:w:w:w
l_ _ _
h:j:j:j
<F+>

Cada parte  #,f do tablete.
<P>
  Considerando 6 dessas partes, temos #!f do tablete.

<F->
!:::
l___
r:w:w:w
l___
h:j:j:j
<F+>

#!f do tablete so o tablete 
  todo. Logo, #!f=1

  Tambm podemos considerar 7 das 6 partes em que cada tablete foi dividido.  claro que, nesse caso,  preciso ter dois tabletes.

<F->
!:::  !:::
l___  l_ _ _
r:w:w:w  r:w:w:w
l___  l _ _ _
h:j:j:j  h:j:j:j

#=f do tablete so um tablete 
  mais #,f de outro tablete.
<P>
  Veja ainda estes exemplos:

<F->
!:::  !:::
l___  l___
r:w:w:w  r:w:w:w
l___  l___
h:j:j:j  h:j:j:j
<F+>

#,;f do tablete ou 2 tabletes.

<F->
!:::  !:::  !:::
l___  l___  l___
r:w:w:w  r:w:w:w  r:w:w:w
l___  l___  l__ _
h:j:j:j  h:j:j:j  h:j:j:j
<F+>

#,=f do tablete.

<133>
  Costuma-se usar a palavra frao com o significado de *parte, pedao*. Mas, na Matemtica, a frao pode ser: parte do objeto, o objeto todo, o objeto todo mais parte dele, dois objetos, dois objetos mais parte dele etc.
<P>
  Assim, a ideia de frao  mais genrica na Matemtica do que na linguagem comum.

Forma mista

  Observe a parte pintada do tablete de chocolate:

<R+>
_`[{dois tabletes de chocolates; cada um deles est dividido em quinze partes iguais. No primeiro, todas as partes esto pintadas e no segundo, h quatro partes pintadas_`]
<R->

#,*ae do tablete

  #,*ae do tablete so 1 tablete mais #ae do tablete. Por isso, a frao #,*ae tambm pode ser escrita assim: 1#ae (um inteiro e quatro quinze avos).
  Dizemos que 1#ae  a forma mista da frao #,*ae.
  A forma mista  uma "mistura" de nmero natural e frao. Sempre que o numerador for maior que o denominador, a frao poder ser escrita como nmero natural ou na forma mista.
  Exemplos: #,;f=2; #,:f=2#,f.

Porcentagem

  Observe a parte pintada do retngulo: _`[no adaptado_`]
 #?}ajj do retngulo
  A frao #?}ajj tambm pode ser escrita assim: 50%.
  Dizemos que 50%  a frao #?}ajj escrita na forma de porcentagem.
  Toda frao de denominador 100 pode ser escrita na forma de porcentagem.
<R+>
  #*ajj  9% (nove por 
  cento) 
  10% (dez por cento)  #,}ajj

<134>
<P>
Atividades

22. Escreva as seguintes fraes.
 a) cinco sextos  
 b) trs dcimos  
 c) um vinte avos
 d) vinte e um nonos
 e) vinte trinta avos
 f) oito milsimos

23. Voc pode imaginar o quanto se torna complicada a vida para uma pessoa que no sabe ler? Para ela  difcil achar uma rua, saber que nibus pegar, verificar preos etc. Muitos brasileiros maiores de 15 anos tm esse problema. Observe o grfico:

_`[{crculo dividido em quatro partes de tamanho e cores diferentes_`]
<P>
 Legenda:
 lils: Analfabetos -- 9%
 vermelho: Leem mal -- 31%
 amarelo: Leitura normal -- 34%
 azul: Leem bem -- 26%

*Instituto Paulo Montenegro*.

a) Qual a porcentagem dos brasileiros maiores de 15 anos que no sabem ler ou quase no conseguem ler?
 b) Escreva a porcentagem obtida em forma de frao.
 c) Essa frao  maior ou menor do que #,d? Veja que espao ela ocupa no grfico.
 d) O que faz as pessoas lerem bem?

24. Das porcentagens da atividade anterior, qual corresponde a pouco mais que #,d?
<P>
25. Represente cada frao dada com uma figura e, depois, escreva essa frao na forma mista.
 a) #:b
 b) #?c
 c) #"c
 d) #;:d

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

26. Escreva na forma de frao:
 a) 2#,c
 b) 1#?f
 c) 3#aj
 d) 7#,b

27. O filme que est na mquina fotogrfica de meu av  de 36 poses. Eu j bati #=i das foto-
  grafias. Quantas fotos j bati?
  Sugesto:
  Voc pode resolver copiando e completando o esquema seguinte:
<P>
<F->
_`[{esquema adaptado_`]

o filme inteiro -- 36 fotos

!:::::::::::::::::
l_
h:::::::::::::::::j

#,i do filme

!:::::::::
l_ _ _ _ _ _ _ _ _
h:j:j:j:j:j:j:j:j:j

!:::::::::
l_______ _ _
h:j:j:j:j:j:j:j:j:j

36'''='''
#,i do filme =''' fotos
7"'''='''
#=i do filme =''' fotos
<F+>

<135>
<P>
  Voc tambm pode resolver com este esquema resumido:

<F->
o filme inteiro l 36 fotos
::::::::::::::::r::::::::::::::
#,i dele        l 36'''='''
#=i dele        l 7"'''='''
<F+>

28. Minha classe tem 42 alunos. Hoje, com a greve dos motoristas de nibus, #*ad dos alunos faltaram. Quantos alunos faltaram?
 29. Um caminhoneiro est em uma viagem de 1.000 quilmetros. J percorreu #:h dessa distncia. Quantos quilmetros ele j percorreu?
 30. Estamos disputando uma partida num fliperama. Voc tem 1.450 pontos. Quanto aos meus pontos, eles correspondem a #*aj dos seus. Quantos pontos eu tenho?
  Sugesto:
  Voc pode resolver com este esquema:
<P>
<F->
Pense no total.

!:::::::::::::::::::
l_
h:::::::::::::::::::j

Encontre #,aj.

!::::::::::
l_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
h:j:j:j:j:j:j:j:j:j:j

Depois, ache #*aj.

!::::::::::
l_________ _
h:j:j:j:j:j:j:j:j:j:j
<F+>

Ou, usando o esquema resumido:

<F->
Seus pontos l '''
:::::::::::::r::::::::
#,aj deles   l '''
#*aj deles   l '''
<F+>
<P>
31. O dono de uma fbrica declarou:
  -- As coisas no vo bem para mim. Em abril (deste ano), s vendemos #!aj do que no ms de abril do ano passado!
  Em abril do ano passado, essa fbrica vendeu 25.000.000 chicletes. Quantos ela vendeu em abril deste ano?
 32. Numa eleio, o total de votos foi 650.130. O candidato M. A. Landro teve #;ac dos votos e o candidato O. Nesto teve #:e dos votos. Quantos votos cada um deles recebeu?

33. Diga quanto :
 a) 15% de R$16.000,00; 
 b) 30% de R$16.000,00; 
 c) 45% de R$16.000,00;
 d) 60% de R$16.000,00.

<136>
34. Paula tem R$2.500,00. Pedro tem 44% do que Paula tem. Quanto Pedro tem?
<P>
 35. Quanto  37% de R$15.000,00?
  Sugesto:
  Use um dos esquemas que voc j conhece. Por exemplo:
  Valor total.
  1% do valor total.
  37% do valor total.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

36. O pessoal est jogando cartas. Carlos tem #?f dos pontos de Clarice, que tem #,,h dos pontos de Joo, que tem #!c dos pontos de Ana. Responda:
 a) Carlos tem mais pontos que Clarice?
 b) Clarice tem mais pontos que Joo?
 c) Joo tem mais pontos que 
  Ana?
 d) Afinal, quem tem mais pontos: Carlos, Clarice, Joo ou 
  Ana?

Pensando em casa

37. Eis uma estimativa sobre os pases mais populosos do mundo por volta de 2007:

_`[{tabela adaptada, composta por duas colunas: pases e nmero de habitantes_`]

 China -- 1 bilho e 300 milhes
 ndia -- 1 bilho e 100 milhes
 Estados Unidos -- 300 milhes
 Indonsia -- 228 milhes
 Brasil -- 185 milhes

*Almanaque Abril*. So Paulo: Abril, 2008. p. 640.

  A populao total do planeta em 2007 foi estimada em 6 bilhes e 600 milhes de habitantes.
  ndia e China tm mais ou menos de #,c da populao mundial? Quanto a mais ou a menos?
<P>
38. Escreva na forma mista:
 a) #*h
 b) #=b
 c) #;*aj
 d) #;;ai

<137>
39. Num ms de 30 dias, diga quantos dias correspondem a:
 a) #?f do ms;
 b) #:aj do ms;
 c) #"ae do ms;
 d) #,*cj do ms.

40. Quantas horas tm #?h de um dia?
 41. "Com o dia de hoje, l se vo #;e deste ano de 2010." Em que ms estvamos quando o professor disse essa frase?

42. Um bolo foi dividido em 25 fatias: 15 finas (iguais) e 10 grossas (iguais). Cada fatia grossa valia por duas finas.
 a) Cada fatia fina  uma certa frao do bolo. Qual?
 b) Cada fatia grossa  uma certa frao do bolo. Qual?

43. Diga quanto :
 a) 5% de R$18.000,00;
 b) 12% de R$25.000,00;
 c) 21% de R$14.000,00.

44. Rosa tem 74% de R$6.500,00. Clara tem 95% de R$8.000,00. Quanto Clara tem a mais do que Rosa?
 45. Numa eleio, 65.000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os de mais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos cada candidato recebeu?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<138>
<P>
3- Fraes equivalentes e 
  simplificao

  Observe que #,b e #;d representam a mesma poro do retngulo.

<F->
#,b

!::::::
l_   _ 
h:::j:::j

#;d

!::::
l__ _ _ 
h:j:j:j:j 

#,b=#;d
<F+>

  Dizemos ento que #,b e #;d so fraes equivalentes (*equi* significa *igual*; *equivalente* quer dizer *de igual valor*).
<P>
  Duas ou mais fraes so equivalentes quando representam a mesma poro do todo.
  Por exemplo:

<F->
#,c

!:::::::::
l_   _   _   
h:::j:::j:::j 

#;f

!::::::
l__ _ _ _ _ 
h:j:j:j:j:j:j  
<F+>

#,c=#;f

Propriedade fundamental das 
  fraes

  Esta figura representa #;c, ou seja, #;c do retngulo esto pintados.
<P>

<F->
!:::::::::
l__   _
h:::j:::j:::j  
<F+>

  Agora, dividimos cada tera parte em 5 partes iguais.
<139>
  Da primeira para a segunda figura, _`[no adaptada_`] veja o que aconteceu:
<R+>
  o nmero de partes foi multi-
  plicado por 5: passou de 3 para 15;
  o nmero de partes assinaladas tambm foi multiplicado por 5: passou de 2 para 10;
  a poro do retngulo assinalada continuou a mesma.
<R->
  Tudo isso pode ser esquematizado assim:
 #;c=#,}ae
 2'5=10
 3'5=15
  Na figura que representa #;c, poderamos ter dividido cada tera parte em 2 partes iguais, ou 3, 
<P>
4, 5, 6, ... partes iguais. Assim, veramos que:
<F->
#;c=#f
2'2=4
3'2=6

#;c=#!i
2'3=6
3'3=9

#;c=#"ab
2'4=8
3'4=12

#;c=#,}ae
2'5=10
3'5=15

#;c=#,;ah
2'6=12
3'6=18
<F+>

  Quando multiplicamos o numerador e o denominador de #;c por um mesmo nmero natural no nulo, obtemos uma frao equivalente a #;c.
<P>
  Isso vale para qualquer frao.  a propriedade fundamental das fraes:

  Multiplicando o numerador e o denominador de qualquer frao por um mesmo nmero natural, no nulo, sempre se obtm uma frao equivalente  inicial.

  Por exemplo, #;e=#:}ge porque 2'15=30 e 5'15=75

<140>
Simplificao de fraes

  A propriedade fundamental nos mostra que, tendo-se uma frao qualquer, existem infinitas fraes equivalentes a ela. Por exemplo: #:e, #!aj e #*ae
 #:e=#!aj=#*ae=#,;bj=#,?be=
 =#,"cj=...
  Todas essas fraes representam a mesma poro do todo, mas, quanto menores forem o numerador e o denominador, mais simples ser a frao. Por exemplo, #!aj e #,;bj so fraes equivalentes, mas #!aj  mais simples que #,;bj.

  Simplificar uma frao  encontrar outra, equivalente  primeira, mas com numerador e denominador menores. A maneira mais utilizada de simplificar uma frao  dividir seu numerador e seu denominador por um divisor comum (maior que 1).

Exemplo

  Vamos simplificar #?fj.
<F->
#?fj=#,?bj=#:d
453=15
603=20
155=3
205=4
ou
#?fj=#:d
4515=3
6015=4
<F+>

  Ento, #:d  uma forma simplificada de #?fj.

<141>
Fraes irredutveis

  Quando uma frao no puder ser simplificada, diremos que se trata de uma frao irredutvel. Portanto, numa frao irredutvel, o nico divisor comum do numerador e do denominador  1.

Exemplo

<F->
#;cj=#,;ae=#e
242=12
302=15
123=4
153=5
<F+>

  A frao #e  irredutvel, mas #;cj e #,;ae no so irredutveis.

Atividades

<R+>
46. Considere as fraes: #,}af, #,?cb, #!}fd e #"}abh. Quais delas so equivalentes a #?h?

47. D trs exemplos de fraes equivalentes a:
 a) #;g
 b) #:b

48. Considere as fraes: #!aj, #,,cc, #,;be, #,?ba e #,!ce. Quais delas so irredutveis?

49. Responda:
 a) #?g de R$175,00 tm o mesmo valor que #;?ce de R$175,00?
 b) #?g e #;?ce so fraes equivalentes?
 c) #;c de R$108,00 tm o mesmo valor que #,}ab de R$108,00?
 d) #;c e #,}ab so fraes equivalentes?

50. Populao urbana  a parcela da populao que habita reas urbanas. Em 2000, quase metade dos habitantes do planeta vivia em centros urbanos, e a estimativa para 2030 sobe para seis entre dez pessoas.
<P>
_`[{grfico adaptado, "Populao urbana (mdias regionais)"_`]
 Legenda:
 A: frica
 B: sia
 C: Amrica Central
 D: Amrica do Norte
 E: Oceania
 F: Europa
 G: Amrica do Sul
<F->

    l (em % -- 2001)
    l
80 r:::::::::::::==:::::::::::
70 r:::::::::==::::==::==:::
60 r::::::::::::::::::
50 r::::::::::::::::::
40 r:::==:::::::::::
30 r::::::::::::::
    v--------------- 
      A  B  C  D  E  F  G
<F+>

*Almanaque Abril*. So Paulo: Abril, 2005. p. 122.
<P>
a) Escreva na forma de porcentagem:
  a metade;
  seis entre dez.
 b) Segundo o texto, qual  o percentual dos habitantes da Terra que vivero em centros urbanos em 2030?
<142>

51. Para se ter 3~4=15~..., que nmero deve ser colocado no lugar de ...?
  Sugesto:
  Verifique por qual nmero o 3 foi multiplicado.
  O mesmo deve acontecer com o denominador.
  3~4=15~...
  No lugar do ..., que nmero voc colocou?

52. Quanto vale ...?
 a) 2~3=18~... 
 b) 8~...=24~33
 c) ...~9=5~3
 d) 1~2=...~10
<P>
53. Encontre o valor de x sabendo que:
 a) 6~25=x~100
 b) 6~72=1~x
 c) x~45=2~9
 d) 2~3=x~51

54. Responda:
 a) Um meio equivale a quantos oitavos?
 b) Dois teros equivalem a quantos nonos?

Pensando em casa

55. D trs exemplos de fraes equivalentes a #:aj.

56. Responda:
 a) #;c e #,}ah so equivalentes?
 b) #;c e #,ba so equivalentes?
 c) #;c e #;!ci so equivalentes?

57. Considere as fraes: #?aj, #,}bj, #?bj, #:h e #:?gj. Quais delas so equivalentes a #,b?

58. Coloque na forma irredutvel:
 a) #??fj
 b) #,,afe
 c) #=?age
 d) #;?;fcj
 e) #,=?adj
 f) #,"bec

59. Calcule o valor de x.
 a) 2~3=12~x
 b) 3~8=x~40
 c) x~20=2~5
 d) 100~x=20~50
 e) 4~x=1~4
 f) x~37=403~481

60. 
 a) Quanto  #,d de R$17.000,00?
 b) Quanto  #;?ajj de R$17.000,00?
 c) #,d e #;?ajj so fraes equivalentes?

61. Considere as fraes: #,b, #,d, #;e, #=aj, #,:bj, #,;be e #:ej.
 a) Cada uma delas possui uma frao equivalente com denominador 100. Escreva essas fraes.
 b) Cada uma das fraes consideradas pode ser escrita de outro modo, usando-se o smbolo %. Quais so essas porcentagens?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<143>
4- Nmeros racionais

  Imagine esta situao: um chocolate ser igualmente dividido entre trs crianas. Nesse caso, a diviso com nmeros naturais no resolve o problema: 13=0 resto 1.
  Cada criana receberia 0 chocolate, sobraria 1 e ningum sairia satisfeito. Com as fraes, porm,  possvel fazer essa diviso de 1 por 3.
 1 dividido por 3 ou 13
<P>
  Cada criana recebe #,c do chocolate. Ento, o resultado de 13  #,c.
 13=#,c
  Nessa diviso, o dividendo  1, o divisor  3, o quociente  #,c e o resto  0.
  Qualquer frao  o resultado da diviso do seu numerador pelo seu denominador.
  Veja na figura _`[no adaptada_`] que o resultado de 23  #;c.
 23=#;c

<144>
  Qualquer frao  o resultado da diviso do numerador pelo denominador (que no  zero jamais!).

  As fraes so resultados de divises entre nmeros naturais. Por isso, vamos considerar que fraes tambm so nmeros, chamados de nmeros racionais.
<P>
Lembrete

  A palavra racional se refere justamente  diviso. Sua origem  *ratio*, que, em latim, a antiga lngua dos romanos, quer dizer *diviso*. Veja que at hoje usamos a palavra rateio com o significado de *dividir*.
  Por exemplo, #,c  um nmero racional. Ele  o resultado de 13.
  Agora, ateno! Sabemos que existem infinitas fraes equivalentes a #,c: #,c=#;f=#:i=#ab=
 =#?ae=#!ah=...
  Todas essas fraes equivalentes a #,c representam, portanto, um s nmero racional.
  Tambm sabemos que existem infinitas fraes equivalentes a #;e: #;e=#aj=#!ae=#"bj=#,}be=
 =#,;cj=...
  Todas essas fraes representam um mesmo nmero racional. 

<145>
<P>
Nmeros naturais e nmeros 
  racionais

  Agora, voc j conhece dois tipos de nmeros: os naturais `(0, 1, 2, 3, ...`) e os racionais (que so quocientes de dois naturais).
  Repare que a diviso de dois nmeros naturais pode tambm ser um nmero natural. Exemplo: 124=3.
  Por isso, os nmeros naturais tambm so racionais.
  Alis, isso voc j pode ter notado anteriormente, porque os nmeros naturais podem ser escritos na forma de frao. Por exemplo: #,;d=3; #=a=7

Curiosidade

  As fraes foram inventadas h milhares de anos, no antigo 
 Egito, no tempo em que se construram as famosas pirmides. Os egpcios usavam apenas fraes com 
<P>
numerador 1, com exceo da frao #;c. Veja a escrita de algumas fraes:

<R+>
_`[{as fraes em algarismos egpcios no foram adaptadas_`]
<R->

  Um dos principais usos das fraes era expressar medidas. Mesmo hoje, isso pode acontecer. Por exemplo, se o comprimento de um tapete  maior que 2 metros e menor que 3 metros, pode ser que seja 2 metros e #,e do metro, no ? Atualmente, no entanto, temos outros meios para expressar medidas, que so mais usados que as fraes e que voc logo conhecer.

Atividades

<R+>
62. Dividindo igualmente o contedo de 3 refrigerantes entre 4 pessoas, quanto cada uma receber?
<P>
 63. Dividindo igualmente 4 *pizzas* entre 7 pessoas, quanto cada uma receber?

64. Cada diviso a seguir tem como quociente um nmero racional. Escreva-o da maneira mais simples possvel.
 a) 16
 b) 38
 c) 24
 d) 62
 e) 310
 f) 103

<146>
65. A figura mostra uma diviso de chocolates entre algumas crianas.

_`[{figura: cinco crianas observam duas barras de chocolates divididos em cinco partes_`]

a) Quantos chocolates esto sendo divididos?
<P>
 b) Entre quantas crianas eles sero divididos?
 c) Qual  o resultado da diviso?

66. Os nmeros naturais podem ser escritos na forma de frao. Copie e complete:
 a) 13=26~...
 b) 7=...~4
 c) 15=...~1
 d) 8=128~...
 e) 11=44~...
 f) 50=...~2

Pensando em casa

67. Um jogo que dura 3 horas tem 4 tempos de mesma durao.
 a) Que frao de hora tem cada tempo?
 b) Quantos minutos tem cada tempo?
<P>
68. Escreva o nmero racional que  o quociente de:
 a) 15; 
 b) 510; 
 c) 96; 
 d) 69;
 e) 182;
 f) 218.

69. O nome "nmero racional" no significa "nmero que pensa". Qual  o significado da palavra "racional" no nome "nmero racional"?
 70. Zero  nmero racional? Por qu?

71. Cada frao a seguir representa algum nmero natural. Qual?
 a) #,"c
 b) #,"f
 c) #=a
 d) #=g
<P>
72. Renata diz para Lgia:
  -- Falta #,d para as duas.
 a) Esse #,d vem de 1 hora dividida em 4 partes. A quantos minutos isso corresponde?
 b) Diga, de outra maneira, o horrio dado pela Renata.

<147>
Desafios e surpresas

2. Calcule #aa do que eu tenho, sabendo que #;c do que eu tenho so R$132,00.

3. Seiscentas garrafas sero colocadas em engradados.
 a) Se couberem 24 garrafas em cada engradado, quantos engradados sero necessrios?
 b) Se couberem 48 garrafas em cada engradado, o ltimo engradado ficar incompleto. Com um nmero na forma mista, indique a poro dos engradados que ser ocupada.
<P>
4. A distncia entre duas cidades  de 325 quilmetros. Hoje, o trem que liga essas cidades viaja a 65 quilmetros por hora. Planeja-se substitu-lo por um trem-bala, que viaja a 390 quilmetros por hora.
 a) Em quantas horas o trem atual faz a viagem?
 b) Em que frao de hora o trem-bala a far? Quantos minutos levar essa viagem?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<148>
5- Nmeros decimais

  Fraes so nmeros racionais, mas, no dia a dia, no se costuma us-las para indicar medidas ou quantias em dinheiro.
  O preo do quilograma de queijo no precisa ser nmero natural (ou inteiro). Mesmo assim, voc nunca deve ter visto anncios como os que aparecem a seguir:
<P>
<R+>
_`[{anncios: duas promoes de queijo_`]

 Queijo Bom!
 S R$#",d por kg

Queijo Melhor OFERTA!
 1 kg por R$#*!e
<R->

  A razo  a dificuldade de comparar esses preos. No  fcil saber se #",d  maior ou menor que #*!e.
  Por motivos como esse, os matemticos do sculo XVI (perodo de 1501 a 1600) passaram a usar outra maneira de representar os nmeros racionais, a qual tem muitas vantagens sobre as fraes. Trata-se dos nmeros "com vrgula". Entre seus defensores destacaram-se o engenheiro e matemtico flamengo Simon Stevin (1548-1620) e o advogado e matemtico francs Franois Vite (1540-1603).

A outra representao dos 
  racionais

  No sistema decimal e posicional com que escrevemos os nmeros naturais, comeando da esquerda, cada posio vale um dcimo da anterior:

_`[{esquema adaptado_`]
 Legenda:
 C: Centena
 D: Dezena
 U: Unidade

<F->
!:::::::::
lC _D _U _
h:::j:::j:::j
<F+>

  Dividindo uma centena por 10, temos uma dezena; dividindo a dezena por 10, temos uma unidade. Que tal continuar esse padro?
  Dividindo a unidade por 10, temos um dcimo. Dividindo o dcimo por 10, temos um centsimo. E assim por diante.

_`[{esquema adaptado_`]
 Legenda:
 D: Dezena
 U: Unidade
 De: Dcimo
 Ce: Centsimo

<F->
!::::::::::::
lD _U _De_Ce_
h:::j:::j:::j:::j
<F+>

<149>
  Na representao com vrgula, usaremos dcimos, centsimos, milsimos, que j conhecemos, mas escritos de outra maneira. Veja os exemplos:
<R+>
  no lugar de #:aj, escrevemos 0,3 (trs dcimos ou zero vrgula trs);
  no lugar de #=ajj, escrevemos 0,07 (sete centsimos ou zero vrgula zero sete);
  no lugar de #,:aj, que  igual a 1#:aj, escrevemos 1,3 (um inteiro e trs dcimos ou um vrgula trs).
<R->
<P>
  Ateno para mais este exemplo: uma frao como #:=ajj  igual a #:}ajj+#=ajj ou, lembrando da equivalncia de fraes, #:aj+#=ajj, que  igual a 0,37 (trinta e sete centsimos ou zero vrgula trinta e sete).
  Dissemos que essa  a representao com vrgula porque se usa a vrgula para separar a parte inteira da fracionria, que  a parte menor do que a unidade.

  A representao com vrgula  um sistema posicional e decimal. Da esquerda para a direita, cada posio vale um dcimo da anterior, isto , a unidade vale #,aj da dezena, o dcimo vale #,aj da unidade e assim por diante.

  Por isso, os nmeros escritos nessa representao so chamados de nmeros decimais. Entretanto, eles no deixam de ser nmeros racionais, uma vez que so apenas outra maneira de escrever fraes.

Das fraes para os decimais e 
  vice-versa

  J vimos como escrever fraes de denominador 10 ou 100 na forma de nmero decimal. Veja mais este exemplo: 
 #;:ajjj=0,234 (duzentos e trinta e quatro milsimos)
  Voc deve ter notado este padro:

  A quantidade de algarismos  direita da vrgula corresponde  quantidade de zeros do denominador.

  Usando esse fato, podemos tam-
 bm escrever nmeros decimais na forma de frao:
<R+>
 2,37=#;:=ajj
 2,37 :> dois algarismos  direita da vrgula
 100 :> dois zeros
<P>
0,0001=#,ajjjj
 0,0001 :> quatro algarismos  direita da vrgula
 10.000 :> quatro zeros
<R->

<150>
  At aqui s transformamos as fraes de denominador 10, 100, 1.000 etc. em nmeros decimais. Mais tarde, veremos como escrever outras fraes (como #;e ou #=i) na forma de nmero decimal.

Anote

  Em alguns pases, como os 
 Estados Unidos, a Inglaterra e a Austrlia, o costume  usar ponto no lugar da vrgula dos nmeros decimais. Nesses lugares, escreve-se 52'cg em vez de 52,37.
  Nas calculadoras tambm se usa o ponto porque os primeiros fabricantes desses aparelhos foram os norte-americanos. 
<P>
Atividades

<R+>
73. Representando o nmero 1 (um inteiro) com esta figura:

_`[{placa do material dourado: um quadrado grande, dividido em cem quadradinhos iguais_`]

  A representao de 0,1 (um dcimo) e 0,01 (um centsimo) fica assim:
  0,1 _`[um retngulo dividido em dez quadradinhos iguais_`]
  0,01 _`[um quadradinho_`]

  Agora, vamos representar 2,12 usando este esquema: 

_`[{dois quadrados grandes, um retngulo e dois quadradinhos_`]

  Do mesmo jeito, represente com esquemas simplificados os nmeros decimais:
 a) 0,1 
 b) 0,13
 c) 1,1 
 d) 1,01 
 e) 1,2
 f) 2,1

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

74. Escreva na forma de nmero decimal:
 a) #=ajj
 b) #=ajjj
 c) #==!aj
 d) #==!ajj

75. Usando algarismos, escreva na forma decimal:
 a) dois dcimos;
 b) vinte e oito centsimos;
 c) vinte e oito milsimos;
 d) cento e onze milsimos;
 e) cinco inteiros e cinco dcimos;
 f) dez inteiros e vinte e seis centsimos;
 g) dez inteiros e vinte e um milsimos.
<P>
76. Observe, na etiqueta da lata de leite em p desnatado, sua composio mdia por 100 g de p:

_`[{tabela adaptada_`]

 Composio mdia por 100 g de p
  Gordura -- mximo 1,0 g
  Protenas -- 35,3 g
  Lactose -- 51,9 g
  Sais minerais -- 7,8 g
  gua -- 4,0 g

  Transforme em fraes decimais, isto , fraes com denominador 10, 100, 1.000 etc., cada um dos valores dados em nmeros decimais.

<151>
Pensando em casa

77. O retrato _`[no adaptado_`] mostra um importante matemtico do sculo XVI que defendeu o uso de nmeros decimais no lugar das fraes.
  Quem  esse matemtico? (Seu nome est no texto anterior s atividades. Dica: ele nasceu em 1540.)
 78. O nmero 0,5 deveria ser lido "cinco dcimos", mas o costume  ler "meio". Por qu?

79. Uma das razes para usar nmeros decimais  a dificuldade de comparar fraes. Na explicao do texto, pgina 350, h preos de dois queijos dados em fraes. Para saber qual o maior preo, pegue uma calculadora e, em cada frao, divida o numerador pelo denominador. O resultado ser o preo em reais, escrito na forma decimal. Feito isso, responda:
 a) Qual o preo do quilo do Queijo Bom?
 b) E do Queijo Melhor?
 c) Qual o maior nmero: #",d ou #*!e?
<P>
80. Escreva na forma de nmero decimal:
 a) #;:aj
 b) #!ajjj
 c) setenta e trs milsimos
 d) setecentos e vinte e oito dcimos

81. Escreva como frao e simplifique-a:
 a) 0,8 
 b) 0,20 
 c) 1,25
 d) 40,5

82. Relembre o esquema para representar nmeros decimais da atividade 73. Podemos representar 17 centsimos assim:

_`[{dezessete quadradinhos_`]

  Como 10 centsimos formam 1 dcimo,  mais simples representar assim:
<P>
_`[{um retngulo e sete quadradinhos_`]

  Agora, faa a representao mais simples e escreva o nmero com algarismos:
 a) _`[{treze quadradinhos_`] 
 b) _`[{doze retngulos e um quadradinho_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<152>
6- Comparao de nmeros 
  decimais

  Como j foi dito, no  muito fcil achar a maior entre duas fraes. Por outro lado,  fcil comparar decimais. Basta olhar os nmeros com ateno. Vamos ver como.

Uma propriedade da representao 
  decimal

  Numa calculadora, vamos digitar 3,200:
  Se, em seguida, digitarmos uma tecla de operao como *+* (mais), no visor da calculadora acontecer o seguinte: o nmero 3,200 imediatamente se transformar em 3,2, ou seja, desaparecero os zeros finais.
  A calculadora "joga fora" os zeros finais de 3,200. Ser que isso significa que 3,200 e 3,2 so nmeros decimais iguais?
  Vamos ento comparar 3,2 e 3,200: 3,2 so trs inteiros e dois dcimos; 3,200 so trs inteiros e duzentos milsimos.
<153>
  Veja: duzentos milsimos =#;}}ajjj=?200100*?1.000
 100*=#;aj= dois dcimos
  Conclumos, assim, que 3,200=3,2.  por isso que a calculadora "joga fora" os zeros finais de 3,200.

  Retirando-se ou acrescentando-se zeros no final da parte fracionria (a parte que vem depois da vrgula) de um nmero decimal, esse nmero no muda.
  Por exemplo:
  2,57000=2,57
  5,4=5,40=5,400=5,4000
  0,0020=0,002

Comparando nmeros decimais

  Como os nmeros decimais formam um sistema posicional -- em que cada posio vale dez vezes a que est  sua direita --, para comparar dois nmeros decimais, fazemos o seguinte:
  Comeamos comparando as partes inteiras, que so nmeros naturais: o nmero que tiver a maior parte inteira  o maior.
 38,2o17,999 porque 38o17
  Se eles tiverem partes inteiras iguais, comparamos os seus dcimos; nesse caso, o nmero que tiver maior dcimo  o maior.
 5,4o5,18 porque as partes inteiras so iguais e, na casa dos dcimos, temos 4o1
  Se os nmeros tiverem partes inteiras iguais e dcimos iguais, comparamos ento seus centsimos, depois seus milsimos e assim por diante.
 0,02o0,0078 porque as partes inteiras e os dcimos so iguais, mas, na casa dos centsimos, temos 2o0
  A comparao de nmeros decimais tambm pode nos levar a uma igualdade: 3,217=3,2170

<154>
Atividades

<R+>
83. Considere os seguintes nmeros decimais: 0,8753; 2,1; 13,008; 0,6; 0,0010; 1,0.
  Diga quais deles so:
 a) maiores que 1;
 b) maiores que 0,5;
 c) menores que 2,07.

84. Escreva na forma de uma frao irredutvel:
 a) 0,3
 b) 0,300
 c) 3,20
 d) 3,2
 e) 0,05
 f) 0,050
 g) 1,04
 h) 1,4

85. No lugar de ..., o que se deve colocar: **, *=* ou *o*?
 a) 3,2...2,3
 b) 12,2...8,7
 c) 32,5...32,6
 d) 0,82...3,4
 e) 26...21,878
 f) 2,57...2,8
 g) 0,1...0,01
 h) 0,1...0,10
 i) 2,8...2,08
 j) 2,36...3,36
 k) 0,8...0,800
 l) 0,0176...0,2

86. Dos nmeros racionais dados a seguir, quatro so iguais: 0,5; 0,05; #?ajj; 0,050; #?}ajj; 0,050000.
 a) Quais so esses quatro nmeros iguais?
 b) Os dois nmeros restantes so iguais entre si?
 c) Quem  maior: 0,5 ou 0,050?
<P>
87. Com uma rgua,  fcil "enxergar" as medidas na forma decimal. Por exemplo: o segmento ^c?{a{b* mede 1,2 centmetro. _`[no adaptado_`]
  Cada centmetro  dividido em 10 partes iguais: cada uma delas se chama milmetro e vale, portanto, 1 dcimo de centmetro.
  Observe os trs segmentos. 
  _`[no adaptados_`] Mea-os com sua rgua e responda s questes a seguir.
 a) Dos trs, h algum que mede menos de 0,9 centmetro? Qual (ou quais)?
 b) Dos trs, h algum que mede mais de 2,9 centmetros? Qual (ou quais)?
 c) Dos trs, h algum que mede mais de 2,1 centmetros e menos de 2,6 centmetros? Qual (ou quais)?
 d) Dos trs, h algum que mede mais de 4,1 centmetros? Qual (ou quais)?
 e) Um segmento de 20 milmetros tem comprimento maior que ^c?{e{f*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<155>
Pensando em casa

88. No lugar de ..., o que se deve escrever: **, *=* ou *o*?
 a) 5,7...5,700 
 b) 0,002...0,020 
 c) 6,503...6,53 
 d) 0,95...1,0001 
 e) 2...2,0
 f) 18,3...1,83
 g) 6,8...6,979
 h) 2,06...2,060

89. Considere trs segmentos com as seguintes medidas:
  6,2 centmetros
  6,16 centmetros
  6,7 centmetros
<P>
 a) Qual deles  o de maior comprimento?
 b) E o de menor comprimento?

90. Responda:
 a) Qual  o maior nmero natural que  menor que 3,26?
 b) Qual  o menor nmero natural que  maior que 3,26?
 c) Qual  o menor nmero natural que  maior que 990,61?

91. Coloque em ordem crescente: 0,52; 1,006; 38,01; 0,5; 0,071; 4; 3,807; 1,01; 3,86.
 92. Coloque em ordem crescente os nmeros que indicam o percentual dos componentes do leite em p em 1 copo de 200 mL de leite.
<P>
_`[{tabela adaptada_`]

Composio mdia % em 1 copo de 200 mL de leite
  Protenas -- 3,8
  Gorduras -- 0,1
  Lactose -- 5,4
  Sais minerais -- 0,8
  Lecitina -- 

Desafios e surpresas

5. Leia a pergunta e o comeo da resposta da menina. Seu desafio  completar a resposta.

_`[{o menino pergunta: "0,2  igual a 0,20, no ? Voc poderia me explicar por qu, sem usar fraes?" A menina responde: "Claro: 0,2  2 dcimos. 0,20  2 dcimos mais..."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156>
<P>
7- Usos dos nmeros decimais

  Fraes e nmeros decimais re-
 presentam nmeros racionais. Do ponto de vista matemtico, fraes e decimais so "a mesma coisa". No entanto, no dia a dia, os decimais so muito mais usados. Seus principais usos so indicar quantias em dinheiro e medidas.

Exemplos

<R+>
1. Em praticamente todos os pases do mundo, a unidade monetria  dividida em 100 partes iguais, chamadas centavos. Portanto, um centavo  um centsimo da unidade monetria. Perceba ainda que um dcimo da unidade corresponde a uma moeda de 10 centavos. No Brasil, a unidade monetria  o real. Em outros pases pode ser o dlar, o euro, o peso etc.
<R->
<P>
  Veja como traduzir a escrita R$32,15:
<R+>
  na forma costumeira,  trinta e dois reais e quinze centavos;
  matematicamente, pode ser trinta e dois reais e quinze centsimos de real, ou
  trinta e dois reais, um dcimo de real e cinco centsimos de real.

2. O metro (smbolo m)  a unidade de comprimento mais usada em nosso dia a dia. Existem outras unidades derivadas do metro:
  um dcimo do metro se chama decmetro (smbolo dm);
  um centsimo do metro se chama centmetro (smbolo cm);
  um milsimo do metro se chama milmetro (smbolo mm).
<R->
  Para medir a altura de uma pessoa, podemos usar metros, decmetros e centmetros. Por exemplo, o senhor da figura _`[no adaptada_`] tem altura entre 1 m e 2 m. Para ter mais preciso, podemos dizer que sua altura est entre 1 m e 7 dm e 1 m e 8 dm. Com mais preciso ainda chegamos a esta medida: 1 m, 7 dm e 
 6 cm.
<157>
   claro que  incmodo escrever tantos smbolos. O normal  usar uma s unidade, o metro, e indicar a altura com um nmero decimal: 1 m mais 7 dm mais 6 cm =1,76 m
<R+>
 3. Voc j conhece nmeros naturais que so apresentados pela imprensa, de forma abreviada, com uma vrgula para facilitar a leitura.
<R->
  A vrgula indica a unidade de referncia; as casas depois da vrgula indicam os dcimos, centsimos, milsimos etc. Veja:

<R+>
Segundo o MEC, em 2004 havia 34,1 milhes de estudantes no Ensino Fundamental.
<R->
<P>
  34,1 milhes =34 milhes +1 dcimo de milho =34.100.000, ou seja, trinta e quatro milhes e cem mil.

Atividades

<R+>
93. Ao preencher um cheque de R$102,50, voc deve escrever a quantia por extenso: cento e dois reais e cinquenta centavos. Escreva por extenso:
 a) R$21,08 
 b) R$35,12

94. As moedas brasileiras com valor menor do que R$1,00 tm os seguintes valores: R$0,01; R$0,05; R$0,10; R$0,25 e R$0,50.
  Diga quantas moedas so necessrias para completar R$1,00 nos seguintes casos:
 a) todas valem R$0,01;
 b) todas valem R$0,05;
 c) todas valem R$0,10;
 d) todas valem R$0,25;
 e) todas valem R$0,50;
 f) uma vale R$0,05, outra vale R$0,25 e as demais valem R$0,10.

95. Quatro chocolates custaram R$5,00. Use seus conhecimentos sobre as moedas de centavos de real e calcule mentalmente o preo de cada chocolate.

96. A altura de certa pessoa  1 m mais 6 dm mais 8 cm. D a altura dessa pessoa:
 a) em centmetros;
 b) em decmetros;
 c) em metros.

97. Mea o comprimento da pgina deste livro. Escreva essa medida em milmetros, em centmetros e em metros.
<158>
 98. Quando se calculam mdias,  comum obter resultado decimal. Por exemplo, se um aluno fez duas provas e obteve notas 7 e 8, sua nota mdia ser (7+8)2=152. Voc j sabe que essa diviso d o nmero decimal 7,5. Use esse exemplo e descubra a mdia das notas de um aluno que fez quatro provas com notas 7, 8, 9 e 10.

99. A populao mundial era de 6,1 bilhes em 2001 e deve atingir a marca dos 7,2 bilhes em 2015, segundo projees da Organizao das Naes Unidas (ONU).
 a) Escreva esses nmeros s com algarismos.
 b) Escreva como so lidos esses nmeros.
 c) Segundo as projees, de quanto ser o aumento populacional de 2001 a 2015?

Pensando em casa

100. Tenho quatro moedas de R$0,10, trs moedas de R$0,25 e duas moedas de R$0,50.
<P>
 a) Quantos reais eu tenho?
 b) Quantas moedas de R$0,05 me faltam para completar R$2,50?

101. Um vendedor de frutas oferecia 5 papaias por R$6,00.
 a) Usando seus conhecimentos sobre as moedas de centavos, calcule mentalmente o preo de cada papaia.
 b) Se for possvel comprar apenas 3 papaias, qual ser o preo?

102. O Brasil teve grandes atletas na modalidade olmpica do salto triplo. Em 1955, Adhemar Ferreira da Silva estabeleceu um recorde mundial saltando 16,56 m. Depois, essa marca foi superada. Em 1975, Joo do Pulo estabeleceu o recorde de 17,89 m. Em 2004, o recorde mundial era 18,29 m, pertencente a um atleta ingls.
<P>
 a) Escreva em centmetros as medidas citadas.
 b) Em quantos centmetros o recorde de 2004 superava o recorde de 1955?
 c) Por que ser que os atletas conseguem saltos cada vez maiores? D uma possvel razo.

103. Escreva em metros estes comprimentos:
 a) 12 dm 
 b) 185 cm 
 c) 4 dm mais 3 cm
 d) 7 cm mais 2 mm

104. Taxa de fecundidade  a mdia do nmero de filhos que todas as mulheres de uma populao tm. Veja a taxa de fecundidade no Brasil em algumas pocas:
<P>

<F->
Ano   _  T. de fecundidade
:::::::w::::::::::::::::::::::
1940  _  6,1
1960  _  6,3
1980  _  4,3
2000  _  2,4
2006  _  2,0
<F+>

IBGE. Geografia do Brasil. Rio de Janeiro, 2007.

a)  impossvel uma mulher ter 6,1 filhos. Como se explica esse valor?
 b) Em que poca as mulheres tinham mais filhos?
 c) A taxa de fecundidade vem aumentando ou diminuindo?
 d) A populao brasileira vem crescendo mais devagar ou mais depressa?

105. Escreva as quantidades a seguir com algarismos e, depois, por extenso:
<P>
 a) 3,2 mil
 b) 5,7 milhes
 c) 5,75 milhes
 d) 1,3 bilho
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<159>
8- Escrevendo fraes como 
  nmeros decimais

  Queremos escrever o nmero racional #;e na forma de nmero decimal. Nesse caso, a frao no  decimal. Como transform-la em nmero decimal?
  A ideia  simples. Voc sabe que #;e  igual a 25. Em vez de dividir 2 inteiros por 5, podemos dividir 20 dcimos por 5, que  a mesma coisa. O resultado ser 4 dcimos. Escrevendo esse raciocnio com smbolos matemticos, temos: #;e=25=20 dcimos 5=0,4
  Quando trabalhamos com nmeros maiores, os clculos so feitos por escrito, e no mentalmente.

Exemplos

1. #,=e=175 
  175=3 resto 2

  Se voc parar por aqui, ter obtido a forma mista da frao: #,=e=3#;e. Mas vamos continuar, para obter a forma decimal: 175=3,4 resto 0
<R+>
 2. Vamos obter a forma decimal 
  de #*,d.
  914=22,7 resto 2
  Agora restam 2 dcimos, que so 20 centsimos.
<160>
  Representamos 2 dcimos como 20 centsimos e completamos a diviso: 914=22,75 resto 0
<R->

Dois problemas

  O processo de transformar fraes em decimais pode ser usado para resolver certos problemas, dos quais damos dois exemplos.
<P>
<R+>
 1. Qual a maior frao: #!e ou #,:aj? Fica fcil responder se voc transformar cada frao em nmero decimal.
 2. Um av queria dividir 27 reais entre seus 4 netos.  possvel efetuar a diviso?
<R->
  Considerando nmeros naturais, sabemos que 27 no  divisvel por 4. Entretanto, agora conhecemos os nmeros racionais e, por isso, a diviso pode ser efetuada. A diviso de 27 por 4 pode ser representada por #;=d. Colocando essa frao na forma decimal, ob-
 teremos a quantia em reais que o av deve dar a cada neto.

Dzimas peridicas

  H um pequeno inconveniente na transformao de fraes em nmeros decimais.
  Algumas divises com quocientes decimais nunca terminam: por mais que faamos, elas sempre deixam resto. Como exemplo, vamos efetuar 13.
  O quociente de 13  0,333... O algarismo 3 vai se repetindo, sem fim. Dizemos, ento, que a forma decimal de #,c  0,333..., com infinitas casas decimais.
  Esse nmero decimal  abreviado assim: 0,?c*
  O sinal ?c* sobre o 3 indica que ele se repetir infinitamente.
  O nmero decimal 0,333...  um exemplo de dzima peridica.
  s vezes, uma diviso muito simples resulta em uma dzima peridica enorme!
  Por exemplo, 17=0,?adbheg*.
  Isso significa que 17=0,142857142857142857... Nesse caso, o grupo de algarismos que se repete periodicamente  142857. Esse  o perodo da dzima.

<161>
<P>
Atividades

<R+>
106. Escreva como nmero decimal:
 a) #!e
 b) #;:aj
 c) #!,e
 d) #;"be

107. Determine o quociente:
 a) 3120
 b) 425
  Quer uma ajuda?
  Ns vamos fazer com voc a diviso 3120, passo a passo. A outra voc far sozinho.
  Como 3120, inicialmente o quociente  zero e o resto  3.
  Toda vez que o quociente der zero e o resto for o prprio dividendo, no vamos reescrev-lo.
  3120=0,025

108. Escreva em ordem crescente as fraes #=e, #,:*ajj e #!*ej.
<P>
 109. Quatro amigos foram a um restaurante e dividiram igualmente uma conta de R$65,00. Quanto coube a cada um?
 110. Uma fita mede 17 cm. Dividindo-a em 4 partes iguais, quanto cada parte medir? E se a dividirmos em 5 partes iguais?

111. Num bimestre, Paulo fez 5 avaliaes de Lngua Portuguesa. Suas notas foram: 6,5; 7,5; 8,0; 4,5; 4,0. Para encontrar a mdia dessas notas, ele dever som-las e dividir o resultado por 5.
  A nota bimestral  dada de meio em meio ponto: ela pode ser 7,0 ou 7,5, mas no 7,2; e deve ser a mais prxima possvel da mdia encontrada.
 a) Qual foi a mdia das notas de Paulo?
 b) Qual foi a sua nota bimestral?

112. Qual  a forma decimal da frao #=cc?

<162>
Pensando em casa

113. Efetue:
 a) 150 
 b) 178

114. Procure no texto que vem antes das Atividades o ttulo "Dois problemas". Resolva os problemas l apresentados.

115 Qual  a maior frao:
 a) #;c ou #:d? 
 b) #=i ou #==ajj?

116. Responda:
 a) O que significa a escrita 0,?e*?
 b) O que  uma dzima peridica?

117. A frente de um edifcio tem 15 m de comprimento. Nessa frente, vo ser plantadas 5 rvores igualmente espaadas. Depois que elas crescerem, a frente do edifcio ficar como mostra a figura. _`[{no adaptada_`]
  Qual deve ser a distncia entre uma rvore e a seguinte?

Desafios e surpresas

6. Use a calculadora. Voc far uma investigao matemtica.
 a) D os quocientes de 19, 29, 39, e assim por diante at 89.
 b) De acordo com os resultados, escreva uma regra para transformar dzimas do tipo 0,aaaa... (sendo *a* um algarismo entre 1 e 8 que se repete sempre) em frao.
 c) D mais estes quocientes: 1799, 2399, 2599, 3799.
 d) Voc seria capaz de escrever uma regra para transformar dzimas do tipo 0,ababab... em fraes?
<P>
7. Observe a charge. Qual a relao entre as posies do pdio e o nmero correspondente?
  Observao: o smbolo # significa "infinito".

_`[{charge "Pdio de um concurso de matemtica...", no adaptado_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte